دسته: علوم انسانی مقاله بررسی علم احتمال در 22 صفحه ورد قابل ویرایش
قیمت فایل فقط 3,500 تومان
مقاله بررسی علم احتمال در 22 صفحه ورد قابل ویرایش
فهرست مطالب
عنوان صفحه
تاریخچه................................................................................................................. 1
احتمال.................................................................................................................... 4
احتمال نظری......................................................................................................... 5
احتمال تجربی........................................................................................................ 5
احتمال ذهنی.......................................................................................................... 6
محاسبه احتمال...................................................................................................... 6
جمع حوادث سازگار............................................................................................. 7
ضرب حوادث مستقل............................................................................................ 7
ضرب حوادث وابسته............................................................................................ 8
اصول اساسی قانون ضرب.................................................................................. 9
جایگشت (تبدیل)..................................................................................................... 11
ترتیب..................................................................................................................... 13
قاعده ترتیب........................................................................................................... 14
تركیب.................................................................................................................... 15
ویژگیهای تركیب.................................................................................................... 18
توصیف احتمال یك حادثه..................................................................................... 18
خلاصه................................................................................................................... 19
تاریخچه
هیچ كس نمی داند كه اعتقاد به شانس برای نخستین بار در چه زمانی و مكانی مطرح شد. در هر حال این امر در دوران ماقبل تاریخ ریشه دارد. با این حال، اسناد كافی نشان می دهد كه انسانهای اولیه برای توجیه حوادث تصادفی به وسایلی متوسط می شده اند. برای مثال در آسیای صغیر در آیین پیشگویی مرسوم بود كه پنج قاپ را بیندازند. ترتیب ممكن از قاپها، نام خدایی را به همراه داشت (ماركس و لارسن، 1990). برای مثال چنانچه ترتیب (4، 4، 3، 1) به دست می آمد (قاپ شش وجه دارد و به هر وجه آن یك شماره اختصاص داده می شد). گفته می شد زئوس منجی آمده است و چنین ترتیبی پنشانی از قوت قلب تلقی می شد و تفسیر آن این بود كه آنچه در سر داری، بی مهابا به انجام برسان. یا اگر ترتیب 4، 4، 4، 6، 6 ظاهر می شد معنای آن این بود كه در خانه ات بمان و به هیچ كجا مرو.
به تدریج پس از گذشت هزاران سال، تاس جانشین قاپ شد. در مقبره های مصر كه 2000 سال پیش از میلاد مسیح ساخته شده اند، تاسهای سفالی به دست آمده اند. متداول ترین تاس بازی آن زمان هازاد نام داشت. هازاد توسط سربازانی كه از جنگهای صلیبی بازگشتند، به اروپا آورده شد. ورق برای نخستین بار در قرن چهاردهم رواج پیدا كرد.
مورخان در مورد این كه اعتقاد به احتمال شروع نامشخصی دارد اتفاق نظر دارند. شاید دلیل این امر ناسازگاری آن با عامل بارز موثر در تحول فرهنگ غرب، یعنی فلسفه یونان و خداشناسی مسیحیان در صدر مسیحیت باشد. یونانیان به عقیده شانس اكتفا می كدرند در صورتی كه مسیحیان چنین اعتقادی نداشتند. در قرن شانزده احتمال سر از خاك برداشت. سازماندهی و احیا آن توسط جرولامو كاردان انجام گرفت. علاقه كاردان كه ظاهراً تحصیلاتی در رشته پزشكی داشت، به قوانین احتمال، ناشی از میل وافر او به قمار بود. او در صدد دستیابی به یك الگوی ریاضی بود تا با كك آن بتواند حوادث اتفاقی را تشریح كند. آنچه كه او سرانجام تدوین كرد تعریف كلاسیك احتمال است. به این صورت كه در صورتی كه تعداد نتایج ممكن حادثه ای كه همه دارای احتمال یكسان هستند را با n نشان دهیم و چنانچه m نتیجه از n نتیجه ممكن اتفاق بیفتد، احتمال آن حادثه مساوی است. برای مثال در صورتی كه تاسی بدون اریبی باشد، 6 ممكن (6= n) خواهد شد (نتایج 5 و 6) و احتمال 5 یا بزرگتر از آن مساوی یا خواهد بود.
كاردان ابتدایی ترین اصول احتمال را مطرح كرده بود. الگویی كه او كشف كرده بود ممكن است پیش پا افتاده به نظر برسد اما حاكی از گامی عظیم بود. بسیاری از مورخان نقطه آغاز علم احتمال را سال 1654 می دانند. در پاریس قمار باز ثروتمندی به نام شوالیه دمور از چند ریاضی دان برجسته از قبیل بلز پاسكال سوالهایی پرسید كه معروفترین آنها درباره نقاط بود.
دو نفر، الف و ب، موافقت می كنند كه بدون تقلب مجموعه ای بازی را تا زمانی كه یك نفر از آنها شش دست برنده شود، ادامه دهند. هر كدام از این دو نفر بر سر مبلغ یكسانی شرط بندی می كنند با این قصد كه برنده كل، تمام مبلغ شرط بندی (بانك) را برنده شود. حال فرض كنید به هر دلیلی این بازیها قبل از موقع پایان پذیرد، مثلا در نقطه یا مرحله ای كه فرد الف 5 دست و فرد ب 3 دست برنده شده باشد. در این مرحله یا نقطه از بازی، پول شرط بندی شده چطور باید تقسیم شود؟ پاسخ صحیح این است كه فرد الف باید كل مبلغ شرط بندی شده را دریافت كند. چرا مبلغ شرط بندی شده باید به این ترتیب تقسیم شود؟
با طرح سوالهای دمور، حس كنجكاوی پاسكال برانگیخته شد و نظر خود را با پیر فرما، كارمند دولت و احتمالاً برجسته ترین ریاضی دان اروپا، در میان گذاشت. فرما با روی گشاده از نظر پاسكال استقبال كرد و از همان موقع بود كه نظریه معروف تناظر پاسكال- فرما نه تنها برای حل مسائل نقاط مطرح شد بلكه شالوده ای برای كارهای اساسی تر گردید.خبر آنچه كه فرما و پاسكال یافته بود انتشار یافت و دیگران هم به مطالعه این مساله پرداختند. معروفترین آنها دانشمند و ریاضی دان هلندی كریستیان های جنز است كه نام او بیشتر به خاطر كارهایش در نورشناسی و نجوم در خاطرها مانده است. توجه های جنز در همان اوایل كارش به مسائل نقاط جلب شد. وی در سال 1657 كتاب محاسبات در بازیهای احتمالی را منتشر ساخت كه قریب 50 سال به عنوان كتاب درسی درباره نظریه احتمال تدریس می شد (لارسن و ماركس، 1990). طرفداران های جنز او را بنیانگذار احتمالات می دانند.
احتمال
مفهوم احتمال به صورتهای مختلف در زندگی به كار برده می شود، احتمال به صورت كلی به درست نمایی اتفاق افتادن حادثه تعریف شده است. این درست نمایی غالباً با P نشان داده میشود و عبارت از نسبت اتفاق افتادن حادثه ای كه انتظار وقوع آن می رود. ارزش مقداری احتمال بین صفر تا 1 قرار دارد. ارزش 1 برای پیشامد حتمی و ارزش صفر برای نشان دادن اینكه شانس یا احتمال وقوع حادثه معینی وجود ندارد، به كار برده می شود. در زندگی حوادث نادری وجود دارند كه احتمال وقوع آنها به صورت مطلق حتمی است. به طور كلی، هرگاه تمام حوادث مورد سوال به صورت دقیق و روشن تعریف شوند، احتمال وقوع یك حادثه معین، P ، مساوی است با تعداد شیوه هایی كه آن حادثه اتفاق می افتد تقسیم بر تعداد كل حالتها. به عبارت دیگر، P مساوی است با تعداد حالتهای مساعد تقسیم بر مجموع كل حالتها. برای مثال، در صورتی كه تاس بدون اریبی را رها كنیم احتمال این كه هر یك از شش وجه آن به زمین بنشیند مساوی است و احتمال این كه هر یك از شماره های 2، 4 یا 6 به زمین بنشیند مساوی یا 5/0 است.
همان طور كه گفته شد احتمال وقوع حادثه معینی را با P نشان می دهند. احتمال عدم وقوع همان حادثه را با q نشان می دهند. مجموع P و q همیشه مساوی یك است (p+q=1). برای مثال، در صورتی كه سكه بدون اریبی را پرتاب كنیم، اگر احتمال آمدن طرف اول آن یا 5/0 است و جمع این دو احتمال مساوی 1 است (p+q=1). در صورتی كه وقوع یك حادثه در احتمال وقوع حادثه دیگر تاثیری نداشته باشد، آنها را مستقل گویند. حوادث مركب به حوادثی گفته می شوند كه از دو یا چند حادثه ساده تشكیل شده باشند، مانند امكان آمدن دو تا 4 در دو مرتبه انداختن تاس.
احتمال نظری
فرض كنید تاسی را رها كرده‌اید چون این تاس دارای 6 وجه است و احتمال آمده هر كدام از وجوه آن نیز مساوی است بنابراین احتمال آمده هر یك از وجوه این تاس مساوی است. این احتمال را نظری می‌نامند زیرا بر اساس مفروضه‌های نظری محاسبه میشود. برای مثال در صورتی كه در یك مسابقه ورزشی برای پیروزی تیمی 4000 ریال به 1000 ریال شرط بندی كنیم، در این شرط بندی نظر ما این است كه 4 به یك به نفع ما خواهد بود، یعنی در نظر ما، تیمی كه طرفدار آن هستیم از پنج بازی، امكان چهار موفقیت دارد. بنابراین احتمال اینكه تیم مزبور برنده شود، یا 8/0 است. این امكان بیشتر جنبه نظری دارد.
ویژگیهای تركیب
نماد nCr دارای ویژگیهای جالبی است . یكی از معروفترین آنها مثلث پاسكال است كه یك آرایش عددی است كه در آن هر عدد برابر با مجموع دو عددی است كه در دو گوشه فوقانی آن قرار دارد. چنانچه ردیفها و ستونها را شماره گذاری كنیم. به این ترتیب كه در راس مثلث از صفر شروع كنیم و شماره گذاری ستونها را از چپ به راست انجام دهیم، هر عدد را می توان با نماد nCr جایگزین كرد.
ویژگی دوم آن عبارت از این است كه اگر در فرمول nCr تركیبهای (n-r) به (n-r) از n حرف را در نظر بگیریم رابطة زیر همواره وجود خواهد داشت:
n-rCr = nCr
ویژگی سوم . همواره داریم:
nCr+ nCr-1 = n+1Cr
در صورتی كه در معادله فوق 1= r باشد، رابطه زیر حاصل خواهد شد:
0 nCr+ nC = n+1Cr
چنانچه r=n باشد ویژگی دوم به صورت زیر خواهد شد:
1 = 0 nC = nCr
توصیف احتمال یك حادثه
در اصطلاح احتمالات، مجموعه از نتایج ممكن همراه با هر آزمایش، فضای نمونه (S) نامیده می شود و به مجموعه ای از نتایج متعلق به فضای نمونه كه برای بعضی شرایط لازم یا كافی است واقعه گفته می شود. احتمال حادثه ای نظیر A را با P(A) نشان می دهند. فرض كنید سكه ای را به هوا پرتاب كرده ایم. فضای نمونه مساوی 2 است، زیرا هر یك از دو طرف سكه می تواند بر زمین بنشیند. A نشان دهنده واقعه موردنظر، شیر یا خط است . احتمال واقعه A مساوی یك دوم است. بنابراین می توان نوست: و لی چگونه می توان این احتمال را تفسیر كرد؟ آیا این بدین معنیا ست كه از هر دوبار انداختن سكه،یك بار روی آن می آید؟ البته خیر. نكته ای كه بیان می‌كند این است چنانچه سكه سالمی را به دفعات متعدد رها سازیم، نسبت نشستن خط به مجموع حالات ممكن مساوی است.
خلاصه
هیچ كس نمی داند كه شانس در چه زمان و مكانی برای اولین بار مطرح شد. احتمال شروع نامشخصی دارد. احتمال در قرن شانزده مطرح گردید و سازماندهی آن توسط جرولامو كاردان صورت گرفت. در صورتی كه تعداد نتایج ممكن حادثه ای را به n نشان دهیم و چنانچه m نتیجه از این n نتایج اتفاق بیفتد، احتمال آن حادثه مساوی است. امروزه احتمال به شكلهای مختلف به كار برده می شود و به طور كلی عبارت است از درست نمایی اتفاق افتادن یك حادثه معین. این درست نمایی با P نشان داده می شود و مقدار آن بین صفر تا 1 قرار دارد. احتمال دارای شكلهای مختلفی است. احتمال نظری براساس مفروضات نظری تعریف و تعیین می شود. احتمال تجربی كه برپایه مفروضات تجربی قرار دارد و احتمال ذهنی كه برای محاسبه احتمالهای روزمره به كاربرده می شود، بر دلایل ذهنی مبتنی است.
در احتمال ، محاسبات براساس دو قانون جمع و ضرب انجام می شود. قانون جمع زمانی به كار برده می شود كه یكی از دو حادثه اتفاق بیفتد، در صورتی كه از ضرب در شرایطی استفاده می شود كه دو حادثه با هم اتفاق بیفتند. قانون جمع برای دو حادثه ناسازگار (حوادثی كه وقوع یكی از آنها وقوع دیگری است) عبارت است از:
P(A)+P(B)= (B یا A)P در صورتی كه این قانون برای حوادث سازگار (كه امكان وقوع آنها به صورت همزمان وجود دارد) به صورت:
P(A)+P(B)-P(A,B)= B) یا P(A نوشته می شود. چنانچه دو حادثه مستقل (یعنی حوادثی كه وقوع یا عدم وقوع هر یك در احتمال وقوع یا عدم وقوع حادثة دیگر تأثیر ندارد) داشته باشیم، احتمال این كه هر دو تای آنها اتفاق بیفتد مساوی حاصل ضرب احتمال وقوع هر یك از آنها است. P(A)* P(B)= (B یا A)P . در صورتی كه دو حادثه وابسته باشند (یعنی احتمال وقوع یكی به احتمال وقوع یا عدم وقوع دیگری بستگی داشته باشد)،احتمال آن كه هر دوی آنها اتفاق بیفتند مساوی است با P(A)* P(B)= (B یا A)P .
در صورتی كه شیوه های ممكن در انجام مراحل متوالی كاری را به nk , … , n2, n1 نشان دهیم، ترتیب اجرای مراحل از n1 تا k مساوی است با nk … * n3 * n2 * n1 . تعداد گروههای حاصل از تبدیل یا جایگشت (شیوه های مختلف قرار گرفتن افراد یا اشیا در كنار هم) عبارت است از: Pn = n! .
جهت دریافت فایل مقاله بررسی علم احتمال لطفا آن را خریداری نمایید
قیمت فایل فقط 3,500 تومان
برچسب ها : تحقیق بررسی علم احتمال , پروژه بررسی علم احتمال , مقاله بررسی علم احتمال , دانلود تحقیق بررسی علم احتمال , بررسی علم احتمال , علم , احتمال